![【二分查找】详细图解[通俗易懂]](/0.jpg)
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
二分查找文章目录二分查找 1. 简介2. 例子3. 第一种写法（左闭右闭） 3.1 正向写法（正确演示）3.2 反向写法(错误演示)4. 第二种写法（左闭右开） 4.1 正向写法（正确演示）4.2 反向写法（错误演示）5. 总结 写在前面：
（一）二分法的思想十分容易理解，但是二分法边界处理问题大多数人都是记忆模板，忘记模板后处理边界就一团乱（👁:“我懂了”， ✋ :”你懂个🔨”）因为我此前也是记忆模板，所以现在想通过一边学习，一边将所学记录成博客教出去（费曼学习法），希望以后能自己推导出边界如何处理，而不仅仅是记忆模板。欢迎一起交流学习，如有看法不一样之处也欢迎留言一起讨论！
（二）我主要解释了二分法的左闭右闭区间，左闭右开区间两种写法，并且每个写法都举了相应的反例，范围写错的话可能会出现的错误等…
1. 简介故事分享🏬：
有一天小明到图书馆借了 N 本书，出图书馆的时候，警报响了，于是保安把小明拦下，要检查一下哪本书没有登记出借。小明正准备把每一本书在报警器下过一下，以找出引发警报的书，但是保安露出不屑的眼神：你连二分查找都不会吗？于是保安把书分成两堆，让第一堆过一下报警器，报警器响；于是再把这堆书分成两堆…… 最终，检测了 logN 次之后，保安成功的找到了那本引起警报的书，露出了得意和嘲讽的笑容。于是小明背着剩下的书走了。 从此，图书馆丢了 N – 1 本书。
保安怎么知道只有一本书📖没有登记出借，万一全部都没有登记呢？
这个故事其实说出了二分查找需要的条件
用于查找的内容逻辑上来说是需要有序的查找的数量只能是一个，而不是多个比如在一个有序的数组并且无重复元素的数组中，例如[1, 2, 3, 4, 5, 6]，需要查找3的位置就可以使用二分查找。
在二分查找中，目标元素的查找区间的定义十分重要，不同的区间的定义写法不一样
因为查找的区间是不断迭代的，所以确定查找的范围十分重要，主要就是左右区间的开和闭的问题，开闭不一样，对应的迭代方式也不一样，有以下两种方式：
左闭右闭[left, right]
左闭右开[left, right)
2. 例子这是一个使用二分查找的例题
题目如下：
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例一：
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
示例二：
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
提示：
你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。n 将在 [1, 10000]之间。nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。出自704. 二分查找 – 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)
二分法的思想很简单，因为整个数组是有序的，数组默认是递增的。
首先选择数组中间的数字和需要查找的目标值比较如果相等最好，就可以直接返回答案了如果不相等 如果中间的数字大于目标值，则中间数字向右的所有数字都大于目标值，全部排除如果中间的数字小于目标值，则中间数字向左的所有数字都小于目标值，全部排除二分法就是按照这种方式进行快速排除查找的
tips:
不用去纠结数组的长度是奇数或者偶数的时候，怎么取长度的一半，以下说明，可以跳过。
当数组的长度为奇数的时候：
是奇数的情况很简单，指向中间的数字很容易理解，如果需要查找的数字为29
因为29大于中间的数字大于11，所以左边的所有数字全部排除
当数组的长度为偶数的时候：
这个时候中间的数字两边的数字数量就不一样了（刚开始学习二分法的时候我经常纠结这个问题，和另外一个长度除2得到的是最中间的数吗的问题，我相信不止我一个人纠结过……但其实这是同一个问题，每次长度除2，如果长度为奇数，得到的中间的数字两边数字数量相同，如果长度为偶数就为上图中间的数字两边的相差为 1）
但是千万不要一直纠结中间的数字两边的数字数量不一样这个问题，因为：
两边数量不一样是一定会出现的情况但是这种情况并不影响我们对中间数字和目标数字大小关系的判断 只要中间数字大于目标数字，就排除右边的只要中间数字小于目标数字，就排除左边的所以数组长度是偶数还是奇数这个真的不重要，不影响怎么排除的问题，无非是多排除一个数字或者少排除一个数字
真正影响的是中间那个数字到底该不该加入下一次的查找中，也就是边界问题3. 第一种写法（左闭右闭）二分法最重要的两个点：
while循环中 left 和 right 的关系，到底是 left <= right 还是 left < right迭代过程中 middle 和 right 的关系，到底是 right = middle – 1 还是 right = middle3.1 正向写法（正确演示）第一种写法：每次查找的区间在[left, right]（左闭右闭区间），根据查找区间的定义（左闭右闭区间），就决定了后续的代码应该怎么写才能对。因为定义 target 在[left, right]区间，所以有如下两点：
循环条件要使用while(left <= right)，因为当(left == right)这种情况发生的时候，得到的结果是有意义的if(nums[middle] > target) ， right 要赋值为 middle – 1， 因为当前的 nums[middle] 一定不是 target ，需要把这个 middle 位置上面的数字丢弃，那么接下来需要查找范围就是[left, middle - 1]代码如下：
代码语言：javascript复制int search(int nums[], int size, int target) //nums是数组，size是数组的大小，target是需要查找的值
{
int left = 0;
int right = size - 1; // 定义了target在左闭右闭的区间内，[left, right]
while (left <= right) {
//当left == right时，区间[left, right]仍然有效
int middle = left + ((right - left) / 2);//等同于 (left + right) / 2，防止溢出
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; //target在左区间，所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; //target在右区间，所以[middle + 1, right]
} else {
//既不在左边，也不在右边，那就是找到答案了
return middle;
}
}
//没有找到目标值
return -1;
}下面图解算法的实现过程，建议将代码复制到一个文本编辑器中，边看代码边看图。或者我直接准备了图片，保存下来打开看就好了。
首先看一个数组，需要对这个数组进行操作。需要对33进行查找的操作，那么target 的值就是33
首先，对 left 的值和 right 的值进行初始化，然后计算 middle 的值 left = 0, right = size - 1middle = (left + (right - left) / 2 ) 比较 nums[middle] 的值和 target 的值大小关系
if (nums[middle] > target)，代表middle向右所有的数字大于targetif (nums[middle] < target)，代表middle向左所有的数字小于target既不大于也不小于就是找到了相等的值 nums[middle] = 13 < target = 33，left = middle + 1
见下图：
循环条件为 while (left <= right)
此时，left = 6 <= right = 11，则继续进行循环
当前，middle = left + ((right - left) / 2)，计算出 middle 的值
计算出 middle 的值后，比较 nums[middle] 和 target 的值，发现：
nums[middle] = 33 == target = 33，找到目标3.2 反向写法(错误演示)对应第一种正向的写法，我们把循环条件修改看看会发生什么事
原查找区间 [left, right]原循环条件是 while (left <= right)修改后题目对应的条件：
查找区间不变，仍然是[left, right]查找数字为27 (target = 27)循环条件修改为while (left < right)代码：
代码语言：javascript复制int search(int nums[], int size, int target)
{
int left = 0;
int right = size - 1;
while (left < right) {
//left <= right 修改为 left < right,其他不变
int middle = left + ((right - left) / 2);
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1;
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1;
} else {
return middle;
}
}
//没有找到目标值
return -1;
}代码图片，边看模拟过程边看代码哦！
好了，现在开始用图片模拟过程
初始化一个数组，计算 middle 的值根据计算的 middle 值确定 nums[middle]因为nums[middle] = 13 < target = 27，所以left = middle + 1继续计算 middle 的值因为 nums[middle] = 33 > target = 27，所以 right = middle – 1接着计算 middle 的值因为 nums[middle] = 22 < target = 27，此时 left = middle + 1，此时 left = right，而循环条件为while (left < right)，所以还未找到27 的情况下算法就跳出了循环，返回 -14. 第二种写法（左闭右开）4.1 正向写法（正确演示）第二种写法：每次查找的区间在 [left, right)，（左闭右开区间）， 根据区间的定义，条件控制应该如下：
循环条件使用while (left < right)if (nums[middle] > target)， right = middle，因为当前的 nums[middle] 是大于 target 的，不符合条件,不能取到 middle，并且区间的定义是 [left, right)，刚好区间上的定义就取不到 right, 所以 right 赋值为 middle。代码如下：
代码语言：javascript复制int search(int nums[], int size, int target)
{
int left = 0;
int right = size; //定义target在左闭右开的区间里，即[left, right)
while (left < right) {
//因为left = right的时候，在[left, right)区间上无意义
int middle = left + ((right - left) / 2);
if (nums[middle] > target) {
right = middle; //target 在左区间，在[left, middle)中
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1;
} else {
return middle;
}
}
// 没找到就返回-1
return -1;
}代码图片：保存下来边看代码边看图片演示过程
需要查找的值为3第一步是初始化 left 和 right 的值，然后计算 middle 的值
left = 0, right = size循环条件while (left < right)因为是左闭右开区间，所以数组定义如下：
计算 middle 的值，比较 nums[middle] 和 target 的大小：因为 nums[middle] = 22 > target = 3所以 right = middle符合循环的条件，接着计算 middle 的值比较 nums[middle] 和 target 的大小：因为 nums[middle] = 9 > target = 3所以 right = middle符合循环的条件，继续计算 middle 的值比较 nums[middle] 和 target 的大小关系：因为nums[middle] = 0 < target = 3所以 left = middle + 1符合循环条件，接着计算 middle 的值比较 nums[middle] 和 target 的关系：nums[middle] = 3 == target = 3成功找到 target4.2 反向写法（错误演示）对应第二种正确的写法，照样把循环条件修改，看会发生什么事
正确的写法中条件为：
查找原区间 [left, right)循环条件为 while (left < right)修改后题目对应的条件：
查找区间不变，仍然是 [left, right)
循环条件修改为：while (left <= right)
查找的数字为26（数组中不存在这个数字！！！）
代码：
代码语言：javascript复制int search(int nums[], int size, int target)
{
int left = 0;
int right = size;
while (left <= right) {
//条件left < right 修改为 left <= right
int middle = left + ((right - left) / 2);
if (nums[middle] > target) {
right = middle;
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1;
} else {
return middle;
}
}
// 没找到就返回-1
return -1;
}代码图片：（记得边看边保存图片代码边看图片演示哦！）
以下是演示全过程：
同样，开始初始化一个数组先计算 middle 的值判断 nums[middle] 和 target 的大小关系：nums[middle] = 22 < target = 26left = middle + 1 （其实这里nums[left] 已经等于27，26不可能找到，接下去就看算法是否能够知道数组中不存在26并且返回-1 了）符合循环条件，计算 middle 的值判断 nums[middle] 和 target 的大小关系：nums[middle] = 57 > target = 26right = middle满足循环条件，接着计算 middle 的值比较 nums[middle] 和 target 的大小关系：nums[middle] = 33 > target = 26right = middle符合循环条件，继续计算 middle 的值比较 nums[middle] 和 target 大小关系，因为 nums[middle] = 27 > target = 26，所以 right = middle，自此，left 和 right 相遇，但是循环条件被我们修改成 while (left <= right) 会接着做循环 接下来就是死循环
因为 middle = left + ((right – left) / 2)，当 left = right 的时候，middle 的值不会继续改变
middle 不继续改变，由于right = middle，right 也不会改变，所以三个数字自此开始不会继续改变
循环条件 while (left <= right) 却仍然满足，不会跳出循环
死循环……
5. 总结二分法最重要的两个点，就是循环条件和后续的区间赋值问题
因为两者是相互联系，相互影响的，所以就需要两者统一，如果两者不统一，就会出现问题
所以循环条件和赋值问题必须统一，也就是循环不变量。
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